Toby van Gastelen

In dit proefschrift presenteren we nieuwe data-gedreven benaderingen voor de efficiënte simulatie van stromingen. De ideeën worden voornamelijk toegepast op de incompressibele Navier–Stokes vergelijkingen, maar ook op de Burgers vergelijking, de Korteweg–de Vries vergelijking en de lineaire advectievergelijking. Voor de eerste drie vergelijkingen blijven we grotendeels binnen het large eddy simulation (LES)-raamwerk. Binnen het LES-raamwerk worden de kleinschalige fluctuaties van een turbulente stroming verwijderd door middel van een ruimtelijk filter. Het toepassen van dit filter leidt tot een niet-gesloten stelsel van vergelijkingen, waarin een sluitingsterm voorkomt die nog steeds afhankelijk is van de verworpen kleine schalen. Doordat deze term niet exact te berekenen is tijdens de simulatie ontstaat de noodzaak tot modellering. Tijdens deze modellering wordt de sluitingsterm benaderd door een sluitingsmodel dat uitsluitend afhankelijk is van grootschalige grootheden. Dit sluitingsmodel heeft als taak het effect van de kleine schalen op de grote schalen te modelleren. In ons werk hanteren we vaak de strategie ‘eerst discretiseren, daarna filteren’. Het voordeel van deze aanpak is dat niet alleen rekening wordt gehouden met het ontbreken van kleinschalige fluctuaties, maar ook met de fout die voortkomt uit de ruimtelijke discretisatie.

Aansluitend bij recente trends benutten we de kracht van machine learning-algoritmen, en in het bijzonder convolutionele neurale netwerken (CNNs), om dergelijke sluitingsmodellen te leren uit hoge-resolutie simulaties. Na training van de machine learning modellen, resulteert dit in een aanzienlijke reductie van de rekentijd. Echter, zelfs wanneer grote hoeveelheden data worden gebruikt om de machine learning modellen te trainen, is stabiliteit niet gegarandeerd. Dit komt doordat deze modellen niet intrinsiek voldoen aan bepaalde fysische structuren van de stromingsvergelijkingen, zoals energiebehoud. Het gevolg is dat fysisch-agnostische op machine learning gebaseerde sluitingsmodellen vaak instabiliteiten veroorzaken tijdens simulaties. In dit proefschrift streven we ernaar deze instabiliteiten te verhelpen.

Om stabiele en fysisch consistente sluitingsmodellen te verkrijgen, laten we ons inspireren door klassieke numerieke discretisatietechnieken en bouwen we deze structuur direct in de machine learning modellen in. Dit leidt tot een gespecialiseerde formulering van het sluitingsmodel, gebaseerd op bestaande data-gedreven algoritmen. Naast CNNs beschouwen we ook lineaire modellen binnen het EFR-raamwerk, dat nauw verwant is aan LES.

Naast LES behandelen we ook gereduceerde-orde-modellen (ROMs). Deze zijn verwant aan LES in de zin dat beide methoden de dimensie van het probleem reduceren. Bij ROMs wordt deze dimensiereductie echter niet bereikt door middel van een ruimtelijk filter, maar via data-gedreven technieken om een gereduceerde basis te construeren. Dit gebeurt doorgaans door het uitvoeren van een singuliere-waardenontbinding (SVD) op simulatiegegevens. De resulterende basis staat er echter om bekend slecht geschikt te zijn voor het representeren van turbulente stromingen. In dit proefschrift stellen we een nieuwe manier voor om een dergelijke basis te construeren die meer geschikt is voor het representeren van turbulente stromingsvelden.

De kernbijdragen worden uiteengezet in de vier kernhoofdstukken van dit proefschrift:

2) Energiebehoudend Neuraal Netwerk voor Turbulentie-Sluitingsmodellering: In dit hoofdstuk beschouwen we de Burgers-vergelijking en de Korteweg–de Vries-vergelijking (in 1D). Een ruimtelijke gemiddelde filter wordt geïntroduceerd en toegepast op een hoge-resolutie discretisatie. We laten zien dat de turbulente fluctuaties die door het filter worden verwijderd, kunnen worden gecomprimeerd en dat hun energie opnieuw in het systeem kan worden ingebracht. Dit leidt tot een nieuwe energiebehoudswet. Vervolgens introduceren we een structuur-behoudende neurale netwerkarchitectuur die aan deze wet voldoet. Dit resulteert in verbeterde stabiliteit en nauwkeurigheid van de resulterende LES ten opzichte van standaard CNNs.

3) Energiebehoudend Neuraal-Netwerk-Sluitingsmodel voor Langdurig Nauwkeurige en Stabiele 2D LES: In dit hoofdstuk behandelen we de incompressibele Navier–Stokes-vergelijkingen in twee dimensies. We bouwen voort op het werk in Hoofdstuk 2 door dezelfde neurale netwerkarchitectuur toe te passen in 2D, maar zonder de gecomprimeerde representatie van turbulente fluctuaties, aangezien een dergelijke representatie in meerdere dimensies nog een open probleem vormt. Het resultaat is een strikt dissipatief sluitingsmodel. We tonen aan dat dit model beter presteert dan standaard CNNs en bestaande eddy-viscositeitsmodellen, terwijl stabiele simulaties worden verkregen. Bij langdurige simulaties worden de voordelen vooral duidelijk bij het beschouwen van statistische grootheden zoals energiespectra.

4) Een Nieuw Data-Gedreven Energie-Stabiel Evolve-Filter-Relax Model voor Turbulente Stromingssimulaties: In dit hoofdstuk bekijken we LES vanuit een ander perspectief door te werken binnen het EFR-raamwerk. Dit raamwerk dient een vergelijkbaar doel als LES, maar heeft als voordeel dat het eenvoudiger te integreren is in bestaande codes. Onze bijdrage bestaat uit het voorstellen van een nieuw data-gedreven filter, dat efficiënt wordt toegepast in de Fourierruimte en het differentiaalfilter vervangt dat gebruikelijk is binnen het EFR-raamwerk. Het data-gedreven filter wordt efficiënt geoptimaliseerd door het oplossen van een eenvoudig kleinste-kwadratenprobleem, waarmee de noodzaak van dure training van neurale netwerken wordt vermeden. Met beperkte trainingsdata is het filter in staat bestaande benaderingen te overtreffen. In het regime van schaarse data bieden fysische restricties, zoals energie- en enstrofiebehoud, aanvullende voordelen op het gebied van stabiliteit en nauwkeurigheid.

5) Modellering van Advectie-Gedomineerde Stromingen met Ruimtelijk-Lokale Gereduceerde-Orde-Modellen: In deze laatste bijdrage stappen we af van LES en beschouwen we projectiegebaseerde ROMs. In het bijzonder richten we ons op de beperkte geschiktheid van de gepaste orthogonale ontbinding (POD) basis voor het representeren van advectie-gedomineerde stromingen (zoals turbulente stromingen). Als oplossing stellen we een ruimtelijk lokale POD basis voor. Daarnaast introduceren we een ruimtelijk lokale POD basis met overlappende subdomeinen, geïnspireerd door een eindige-elementenbasis, om een gladde reconstructie te verkrijgen. We tonen aan dat beide ruimtelijk lokale benaderingen leiden tot een basis die beter generaliseert voor advectie-gedomineerde problemen. Door de lokale ondersteuning van de basis generaliseren de resulterende ROMs niet alleen beter, maar zijn ook rekenkundig efficiënter dan standaard POD-Galerkin ROMs.

Dit proefschrift biedt nieuwe inzichten in de voordelen van het inbouwen van fysische structuur in data-gedreven methoden voor stromingssimulaties. De geïntroduceerde benaderingen vormen een belangrijke bouwsteen voor het toepassen van structuur-behoudende data-gedreven methoden bij de simulatie van realistische stromingsscenario’s.