Jeroen Rodenburg

Heeft u ooit de tijd genomen om een zwerm vliegende spreeuwen te bekijken? Een zwerm, die uit wel 100.000 vogels kan bestaan, vormt soms patronen die bijna hypnotiserend zijn om naar te kijken (voor een voorbeeld zie Fig. 1.1 in hoofdstuk 1). Als u dit wel eens gezien heeft, dan heeft u zich misschien ook wel afgevraagd hoe de vogels deze patronen vormen. De beweging wordt namelijk niet gecoördineerd door één of meerdere vogels die de leiding hebben. In plaats daarvan vormen de patronen spontaan: ze volgen op de één of andere manier uit de manier waarop elke individuele spreeuw vliegt en reageert op de aanwezigheid van andere vogels in de buurt. Maar hoe de patronen dan precies uit dat individuele gedrag volgen is geen eenvoudige vraag. Iets scherper gesteld luidt deze vraag als volgt. Stel we weten precies hoe elke individuele spreeuw beweegt en hoe zij interageert met andere spreeuwen, kunnen we dan het gedrag van een grote groep spreeuwen voorspellen?

Het gedrag van een groep spreeuwen is onderdeel van een onderzoeksveld dat bekend staat als actieve materie. Andere voorbeelden van actieve materie zijn scholen vissen en mensenmassa’s, maar hieronder vallen ook zwemmende bacteriën en zwemmende microdeeltjes die gecreëerd zijn in het laboratorium. Actieve materie heet actief omdat alle objecten energie verbruiken en deze meestal omzetten in beweging. Waarom het materie wordt genoemd is in eerste instantie misschien niet duidelijk, maar het suggereert dat we een dergelijke systeem kunnen beschrijven zoals we ‘gewone’ materie beschrijven, dus alsof het bijvoorbeeld een gas of een vloeistof is. Gewone materie bestaat namelijk ook uit een groot aantal éénheden: moleculen. Het verschil is dat de moleculen (meestal) geen energie verbruiken, en dus niet actief maar passief zijn.

Passieve materie in evenwicht wordt beschreven door de statistische fysica. Deze theorie doet voor passieve materie precies wat we voor actieve materie hopen te bereiken: gegeven hoe individuele moleculen met elkaar interacteren, voorspelt de statistische fysica hoe het geheel van alle moleculen tezamen zich gedraagt. Het collectief van de moleculen beschrijven we dan simpelweg als één stof, die we dan karakterizeren door, bijvoorbeeld, de druk en temperatuur te geven. De druk en temperatuur zijn voorbeelden van thermodynamische variabelen. De statistische fysica kan dan ook voorspellen bij welke waarden van de thermodyamische variabelen een stof in een bepaalde fase is: wanneer vormt een stof een gas, wanneer een vloeistof en wanneer een vaste stof? Zo kunnen we bijvoorbeeld berekenen bij welke temperatuur water kookt boven op de Mount Everest, maar uiteindelijk ligt deze theorie ook ten grondslag aan de motoren die onze auto’s en vliegtuigen aandrijven.

In hoeverre kan actieve materie ook worden beschreven door thermodynamische variabelen? Die vraag staat centraal in dit proefschrift. Daarbij focussen we op de thermodynamische variabelen druk, chemische potentiaal en oppervlaktespanning. We hebben hun gebruik niet onderzocht voor actieve materie in het algemeen, maar voor het simpele model van actieve Brownse deeltjes. Actieve Brownse deeltjes zijn, kort gezegd, gelijk aan passieve deeltjes, maar met het extra ingrediënt dat elk deeltje een voortstuwingskracht voelt in een richting die willekeurig verandert in de tijd. Deze voorstuwingskracht maakt dat de deeltjes niet passief maar actief zijn.

De motivatie voor dit onderzoek komt voor een belangrijk deel uit het fenomeen dat bekend staat als motiliteitsgeïnduceerde fasescheiding. Om uit te leggen wat dit inhoudt volgt nu eerst een korte uitleg over normale fasescheiding. Passieve moleculen, zoals watermoleculen, kunnen bij de juiste omstandigheden scheiden in twee fases. Deze fases bestaan dan tegelijkertijd naast elkaar. Zo kan bijvoorbeeld een gas naast een vloeistof bestaan. Voor het optreden van een dergelijke gas-vloeistof scheiding is het essentieel dat de deeltjes elkaar (op bepaalde afstand) aantrekken - deze aantrekkingskracht zorgt ervoor dat de deeltjes niet slechts één gasfase vormen, maar ook een fase met hogere dichtheid: de vloeistof. Deeltjes die elkaar enkel afstoten vormen daarentegen slechts één gasfase. Wat blijkt nu: deeltjes die elkaar enkel afstoten, maar wel voldoende actief zijn, vertonen wel weer een dergelijke fasescheiding. De fasescheiding wordt nu dus niet veroorzaakt door een aantrekkingskracht, maar door door het feit dat de deeltjes actief zijn - met andere woorden, doordat ze een hoge motiliteit hebben. Daarom heet dit verschijnsel motiliteitsgeïnduceerde fasescheiding. De engelse benaming is motility-induced phase separation; de afkorting daarvan - MIPS - zal ik ook hier gebruiken. Hoofdstuk 2 beschrijft MIPS in detail.

MIPS heeft geleid tot twee belangrijke vragen die dit onderzoek probeert te beantwoorden. Om de eerste vraag te introduceren is het belangrijk om te weten hoe thermodynamische variabelen van nut zijn in de beschrijving van een ‘normale’ gas-vloeistof fasescheiding. Een gas en een vloeistof die naast elkaar bestaan hebben namelijk altijd, naast dezelfde temperatuur, ook 1) dezelfde druk en 2) dezelfde chemische potentiaal. Deze twee gelijkheden (bij vaste temperatuur) stellen ons in staat om de dichtheden van het gas en de vloeistof te voorspellen. De eerste vraag is dan: kunnen we ook voor actieve deeltjes een druk en chemische potentiaal definiëren, en kunnen we daarmee de dichtheden voorspellen van de twee fases die in MIPS naast elkaar bestaan?

De definitie van de druk wordt behandeld in de hoofdstukken 3, 4 en 5. Elk hoofdstuk behandelt verschillende aspecten. Wat gebeurt er als de deeltjes niet bolvormig zijn (hoofdstuk 3)? Wat is de invloed van de vloeistof waar actieve deeltjes vaak in zwemmen (hoofdstuk 3)? Wat gebeurt er als de voorstuwingskracht niet overal gelijk is (hoofdstuk 4)? En hoe komen interacties tussen de deeltjes tot uiting in de druk (hoofdstuk 5)? De situatie blijkt het éénvoudigst voor deeltjes die bolvormig zijn en overal een gelijke voorstuwingskracht ondervinden. Voor deze deeltjes zorgt de activiteit er simpelweg voor dat de druk een extra bijdrage krijgt die bekend staat als de zwemdruk.

En voor deze deeltjes onderzoekt hoofdstuk 5 dan ook de definitie van de chemische potentiaal. Dit hoofdstuk onderzoekt ook of de chemische potentiaal samen met de druk kan worden gebruikt om de dichtheden te voorspellen van actieve fasescheidingen. Dit blijkt goed te werken voor fasescheidingen van attractieve deeltjes bij lage activiteit, maar niet bij de MIPS die gevormd wordt door repulsieve deeltjes bij hoge activiteit.

De tweede vraag gaat over het grensvlak dat de twee fases in MIPS scheidt. Eerder onderzoek [26] vond dat dat de oppervlaktespanning van dit grensvlak negatief is. Dit roept vragen op. Bijvoorbeeld: wat betekent een negatieve oppervlaktespanning eigenlijk precies? En: bij passieve deeltjes zorgt de - altijd positieve - oppervlaktespanning voor de stabiliteit van het grensvlak, dus hoe kan het dat de grensvlakspanning van MIPS negatief is terwijl het grensvlak wel stabiel is?

Hoofdstuk 4 behandelt deze vragen. Het hoofdstuk bekijkt niet direct MIPS, maar een eenvoudiger systeem dat erop lijkt: het grensvlak dat gevormd wordt door actieve deeltjes zonder interacties tussen twee gebieden met verschillende voorstuwingskracht. Het hoofdstuk laat zien dat de stabiliteit van dit grensvlak niet bepaald wordt door het feit dat de oppervlaktespanning positief dan wel negatief is. In plaats daarvan wordt de stabiliteit gegarandeerd door het Marangoni effect. Bij een verstoring van het grensvlak leidt dit effect tot een deeltjesstroom langs het grensvlak op een dusdanige manier dat het grensvlak weer in zijn oorspronkelijke staat hersteld wordt.

Hoofdstuk 7 presenteert een slotbeschouwing. Hoe nuttig kunnen we nu zeggen dat thermodynamische variabelen zijn voor actieve Brownse deeltjes? Een zeker voordeel is dat ze extra intuïtie verschaffen voor het gedrag van actieve materie. Daarbij zijn ze voornamelijk bij lage activiteit ook kwantitatief nuttig. We hebben bijvoorbeeld gezien dat de druk en de chemische potentiaal gebruikt kunnen worden om de dichtheden van licht actieve fasescheidingen te voorspellen.

Er zijn echter nog wel grote uitdagingen in de beschrijving van actieve materie. Het is bijvoorbeeld tot op heden niet gelukt om thermodynamische variabelen (met een microscopische uitdrukking) te vinden die de dichtheden van MIPS voorspellen. Een ander voorbeeld is het gedrag van actieve deeltjes zonder interacties - een zogenaamd actief ideaal gas - in een extern veld. Waar het dichtheidsprofiel van een passief ideaal gas in stabiele toestand direct volgt uit de lokale waarde van de externe potentiaal, laat hoofdstuk 6 zien dat dit dichtheidsprofiel voor een actief ideaal gas afhangt van de waarden van de externe potentiaal op willekeurig grote afstanden.

Dus, hoewel thermodynamische variabelen zeker extra inzicht verschaffen in actieve systemen, vormen ze (nog) geen theoretisch raamwerk dat vergelijkbaar is met de statistische fysica van passieve systemen in evenwicht. Naar de bescheiden mening van de auteur benadrukt dit vooral hoe krachtig de laatstgenoemde theorie is.