Stamatis Vretinaris

Dit proefschrift bestudeerde numerieke modellering van compacte binaire systemen in regimes waarin de relevante fysische en numerieke moeilijkheden kwalitatief verschillend zijn. Binaire systemen met vergelijkbare massa vereisen de niet-lineaire dynamica van de ruimtetijd en, voor neutronensterren, van materie. Systemen met extreme massaverhouding vereisen een gecontroleerde behandeling van een onopgelost klein object en zijn zelfveld. In beide regimes hangt de betrouwbaarheid van de berekening af van het behouden van de continuümstructuur op discreet of statistisch niveau: geometrische grootheden moeten hun betekenis behouden, evolutiesystemen moeten stabiel blijven, singuliere of onopgeloste bronnen moeten consistent worden weergegeven, en inferentieproblemen moeten worden begrensd door de beschikbare fysica.

Het hier gepresenteerde werk bestaat uit vier samenhangende bijdragen. De eerste construeert hoog-orde summation-by-parts-discretisaties voor kromlijnige coördinaten met coördinaatsingulariteiten. De tweede stelt een eindige-resolutieformulering voor scalaire self-force-berekeningen voor. De derde betreft de quasi-lokale geometrie van fusies van binaire zwarte gaten. De vierde ontwikkelt een robuuste inferentiestrategie voor post-mergerzwaartekrachtsgolven van binaire neutronensterren. Samen vormen deze resultaten een proefschrift over het modelleren van compacte binaries en niet over slechts één computationele techniek.

Hoog-orde SBP-operatoren voor kromlijnige singulariteiten
Dit proefschrift begint met de fundamentele eis van numerieke relativiteit: dat de gediscretiseerde evolutievergelijkingen de wiskundige structuur van de onderliggende continuümfysica behouden. Coördinaten aangepast aan symmetrie, zoals bolcoördinaten, zijn natuurlijk in veel relativistische berekeningen. Zij bevatten ook coördinaatsingulariteiten. De factoren 1/rp die in de oorsprong verschijnen zijn geen fysische singulariteiten, maar zij kunnen een eindige-differentiemethode destabiliseren als de discrete operatoren niet de juiste integratie-door-delen-structuur reproduceren.

Het werk aan summation-by-parts-operatoren construeerde hoog-orde eindige-differenceschema’s voor eerste-orde hyperbolische systemen in zulke coördinaten. De constructie begint met Cartesische SBP-operatoren maar wijzigt de norm- en afgeleidestructuur om rekening te houden met de kromlijnige volumemaat en het onderscheid tussen scalaire en vectorwaardige grootheden. Niet-diagonale vectorwaardige normoperatoren zijn toegestaan. Nauwkeurigheidsvoorwaarden nabij de oorsprong bepalen de closure-coëfficiënten, en de covariante divergentie-operator wordt afgeleid uit de SBP-identiteit zelf.

Expliciete operatoren werden geconstrueerd tot en met zesde orde. In sferische scalaire-golfevoluties behouden de schema’s de discrete energie tot op floating-point-nauwkeurigheid onder reflecterende randvoorwaarden. Een Gaussiaans golfpakket kan door de oorsprong gaan en weer schoon tevoorschijn komen, waarbij vierde- en zesde-orde convergentie wordt waargenomen voor de overeenkomstige operatoren. Deze testen tonen aan dat de oorsprong kan worden opgenomen op een collocated radiaal rooster zonder de energiestabiliteit op te offeren die van een SBP-discretisatie wordt verwacht.

Dit resultaat levert numerieke infrastructuur voor relativistische evolutieproblemen. Het biedt een systematisch alternatief voor het uitsnijden van de oorsprong of het gebruiken van staggered grids uitsluitend om de coördinaatsingulariteit te vermijden. Omdat de constructie is gebaseerd op gewogen normen, compatibele gradiënt- en divergentie-operatoren en de SBP-identiteit, is zij in principe niet beperkt tot scalaire golven. De methode kan worden uitgebreid naar willekeurige tensorrang en ruimtetijddimensie, hoewel de integratie ervan in volledige numerieke-relativiteitssystemen toekomstig werk blijft.

Eindige-resolutie-modellering van scalaire self-force
Het werk over scalaire self-force behandelde de kant van extreme massaverhouding in dit proefschrift. In zulke systemen beweegt een klein compact object in het veld van een veel groter object en wordt het beïnvloed door zijn eigen veld. Een letterlijke puntdeeltjesbeschrijving introduceert singuliere velden, die vervolgens geregulariseerd moeten worden. In zelfconsistente evoluties kunnen versnellingafhankelijke termen in het singuliere veld leiden tot impliciete of hoger-afgeleide structuren in de bewegingsvergelijkingen. Dit is ongewenst voor een beginwaarde-evolutieschema.

De hier ontwikkelde benadering vertrekt van een andere premisse: een numerieke berekening heeft eindige resolutie. De relevante hiërarchie is er een waarin de grote schaal wordt opgelost, het kleine object niet, en de roosterschaal ertussenin ligt. In dit regime kan het kleine object worden gemodelleerd als eindig groot onder de resolutieschaal. Het deeltjesveld wordt behandeld als een extra basisfunctie, en het geëvolueerde veld wordt ontbonden in dit deeltjesveld plus een regulier restveld. Alleen de som heeft fysische betekenis.

De formulering werd ontwikkeld voor een scalair deeltje gekoppeld aan een scalair veld in vlakke ruimtetijd. De vergelijkingen werden expliciet opgeschreven in het lab frame, en de toestandsvector werd gekozen voordat de bewegingsvergelijkingen werden afgeleid. Dit leidt tot een zelfconsistent beginwaardesysteem dat de straling omvat die door deeltjesversnelling wordt geproduceerd zonder oneindigheden te introduceren of hogere tijdsafgeleiden van de zelfversnelling als onafhankelijke data te vereisen.

Twee discretisaties werden geïmplementeerd: een eindige-volumemethode en een spectrale methode. In eendimensionale testen vertoonden beide uitstekende overeenstemming met analytische oplossingen. Het volledig zelfinteragerende geval stemde eveneens goed overeen met analytische benaderingen. De berekeningen benadrukten dat effectieve bronnen die door deeltjesversnelling worden gegenereerd correct in de discrete functieruimte moeten worden geprojecteerd; deze projectie kan analytisch of numeriek worden uitgevoerd, waarbij het laatste aantrekkelijk is wanneer de bronuitdrukkingen gecompliceerd worden.

Het huidige werk is een modelprobleem, maar de conceptuele implicatie ervan is breder. Het suggereert dat effective-source-modellering direct op eindige resolutie kan worden geformuleerd. In hogere dimensies zullen de effectieve bronnen een sterkere lokale structuur hebben, inclusief directionele discontinuïteiten. Dit motiveert discretisaties die zijn aangepast aan de omgeving van het deeltje, zoals eindige-elementmethoden met lokale sub-elementstructuur. Windowfuncties kunnen worden gebruikt om het deeltjesveld te lokaliseren en de rekenkosten te verlagen. Het uitbreiden van de constructie naar elektrodynamica en uiteindelijk naar de algemene relativiteit zou extra vrijheidsgraden vereisen, waaronder spin voor compacte objecten, maar het centrale idee blijft hetzelfde: het onopgeloste object moet worden weergegeven op een manier die consistent is met de numerieke schaal waarop het veld wordt geëvolueerd.

Fusies van zwarte-gathorizonten en cuspvorming
De studie van cuspvorming in samensmeltende zwarte-gathorizonten benaderde de fusie van binaire zwarte gaten via marginaal buitenste gevangen oppervlakken. In dit quasi-lokale beeld kan de fusie worden begrepen als de fusie van de twee individuele MOTSs die geassocieerd zijn met de voorlopers van de zwarte gaten met de binnenste MOTS die geassocieerd is met het restant. Voor de frontale botsing van twee niet-spinnende zwarte gaten ontwikkelt de binnenste MOTS een cusp op het raaktijdstip.

Het belangrijkste resultaat is dat de tijdsevolutie van de horizonmassa en de massamultipoolmomenten glad is behalve op dit raaktijdstip. Bij de cusp bevat de kromming een distributionele bijdrage, en de quasi-lokale grootheden vertonen discontinue sprongen. De sprong in de massa volgt uit de additiviteit van de oppervlakte bij de fusie. De sprongen in de hogere massamultipoolmomenten worden bepaald door de Gauss-invariant, die de sterkte van de distributionele kromming bij de cusp vastlegt. Hoewel deze sprongen niet de volledige verandering vormen tussen de initiële voorloperhorizonten en het uiteindelijke restant, kunnen zij tot de dominante bijdragen behoren.

Dit resultaat geeft een bronzijdige beschrijving van een deel van de fusiedynamica. Het laat zien dat horizonmultipolen informatie bevatten die gelokaliseerd is bij het fusiegebeurtenis en die snel verloren kan gaan in de daaropvolgende gladde evolutie van de gemeenschappelijke horizon. Nauwkeurige numerieke resolutie van de MOTSs nabij het raaktijdstip is daarom essentieel. De analyse suggereert ook een breder programma: horizonmultipolen, impulsmoment, recoil en amplituden van zwaartekrachtsgolfmodi met elkaar verbinden in generieke fusies van zwarte gaten. Het huidige werk behandelde een symmetrische frontale configuratie. Het uitbreiden van de analyse naar spinnende, precesserende en niet-axisymmetrische binaries is de natuurlijke volgende stap.

Post-mergerinferentie voor binaire neutronensterren
Het werk over de post-mergerfase van binaire neutronensterren behandelde een ander aspect van de dynamica van vergelijkbare massa’s: het extraheren van fysische parameters uit het zwaartekrachtsgolfsignaal van het restant. Het post-mergerspectrum bevat een dominante frequentie fpeak en subdominante structuren die samenhangen met de dynamica van het differentieel roterende restant. Deze kenmerken zijn potentieel waardevolle sondes van dichte nucleaire materie, maar het robuust afleiden ervan is moeilijk omdat het signaal kort, hoogfrequent en uit meerdere componenten opgebouwd is.

De in dit proefschrift ontwikkelde methode combineert een analytisch model van gedempte oscillatoren met empirische relaties en een classificatie van post-mergerspectra. Tijdens de inspiral meetbare grootheden, in het bijzonder de chirpmassa Mchirp en de effectieve tidale vervormbaarheid Λ˜, worden gebruikt om geïnformeerde priors voor de belangrijkste post-mergerfrequenties te construeren. De spectrale classificatie bepaalt welke componenten benadrukt moeten worden en voor welke componenten de priors breed moeten zijn. Deze structuur vermindert de multimodaliteit die kan ontstaan wanneer brede, niet-informatieve priors verschillende oscillatoren van rol laten wisselen.

De methode werd gevalideerd op vijftien numeriekerelativiteitsgolfvormen van fusies van binaire neutronensterren die differentieel roterende restanten vormen. De verzameling omvat dertien golfvormen uit de CoRe-catalogus en twee aanvullende golfvormen, meestal systemen met gelijke massa en twee gevallen met massaverhouding q = 1.5. De modellen bestrijken neutronensterstralen van ongeveer 11.5 km tot 16 km en massa’s van ongeveer 1.2 M⊙ tot 1.7 M⊙, en dekken de relevante post-mergerspectrale typen die in de analyse zijn beschouwd.

De resulterende fitting factors hebben mediaanwaarden in het bereik 0.935–0.980. Bij een netwerk-signaal-ruisverhouding van 50 in de post-mergerfase is de typische één-sigma-onzekerheid in de dominante frequentie fpeak ongeveer 0.22%. Voor de dominante secundaire piek is die ongeveer 1.4%, terwijl die voor zwakkere secundaire of post-piekfrequenties ongeveer 6.2% is. De strategie met geïnformeerde priors levert geconvergeerde posteriorverdelingen op in gevallen waarin minder beperkte analyses ambigue of multimodale resultaten kunnen opleveren. Het vervangen van dynesty door pocoMC levert bijna een orde van grootte snelheidswinst in wandkloktijd op, waardoor het mogelijk wordt meer gevallen en ruisrealisaties te onderzoeken.

De bredere betekenis van dit resultaat is dat post-mergerinferentie niet moet worden behandeld als een blinde fit van een flexibel model. De inspiral en post-mergerfasen zijn fysisch met elkaar verbonden, en de inferentiemethode moet die verbinding gebruiken. Toekomstig werk moet de robuustheid van de aanpak testen tegen bijkomende fysische effecten die afwezig zijn of vereenvoudigd zijn in de hier beschouwde verzameling golfvormen, waaronder magnetische velden, neutrinotransport, turbulentie-modellering, bulkviscositeit, mogelijke afdrukken van donkere materie en afwijkingen van de algemene relativiteit. Het zal ook belangrijk zijn analytische oscillatormodellen te vergelijken met reduced-order- of machine-learningrepresentaties van het post-mergerspectrum.

Synthese en vooruitblik
De vier delen van het proefschrift zijn verbonden door een gemeenschappelijk principe: numerieke modellen moeten de structuren behouden die het continuümprobleem goed gedefinieerd maken. In de SBP-studie is de relevante structuur de energieschatting; die discreet behouden levert stabiele hoog-orde evolutie door een coördinaatsingulariteit op. In de self-force-studie is de relevante structuur de schaalhiërarchie; het kleine object is onopgelost en moet op eindige resolutie worden gemodelleerd in plaats van als een singulariteit die de discretisatie niet kan weergeven. In de horizonstudie is de relevante structuur geometrisch en topologisch; de cusp draagt een distributionele krommingsbijdrage die sprongen in quasi-lokale grootheden bepaalt. In de post-mergerstudie is de relevante structuur fysische informatie die gedeeld wordt tussen inspiral- en post-merger-observabelen; het gebruik van die informatie in de priors verandert een ambigu inferentieprobleem in een robuust probleem.

De richting voor vergelijkbare massa’s die door dit werk wordt geopend, is om diagnostiek aan de bronzijde en observabelen aan de detectorzijde directer met elkaar te verbinden. Voor fusies van zwarte gaten betekent dit het uitbreiden van de analyse van cusp en multipolen naar generieke spinnende binaries en het onderzoeken of horizonmultipolen kwantitatief gerelateerd kunnen worden aan golfvormmodi en recoil. Voor binaire neutronensterren betekent dit het toepassen van robuuste post-mergerinferentie op golfvormen met steeds realistischer microfysica en op detectornetwerken die in het tijdperk van de derde generatie worden verwacht.

De richting voor extreme massaverhouding is om van scalaire modelproblemen over te gaan naar gravitatie-self-force-berekeningen in gekromde ruimtetijd. Het hier ontwikkelde eindige-resolutieperspectief moet worden getest in situaties waarin langetermijnfase-nauwkeurigheid kan worden gemeten. Het moet ook worden gecombineerd met numerieke methoden die gelokaliseerde effectieve bronnen in meerdere dimensies aankunnen.

De richting voor numerieke methoden is om de hoog-orde kromlijnige SBP-operatoren in completere evolutiesystemen op te nemen. Dit omvat koppeling aan niet-lineaire vergelijkingen, materiebronnen, ijkdynamica en realistische randvoorwaarden. Indien succesvol zouden zulke operatoren simulaties in staat stellen symmetrie-aangepaste coördinaten te gebruiken met behoud van de stabiliteitsgaranties van een energiemethode.

Gezamenlijk genomen bevorderen de resultaten van dit proefschrift de modellering van compacte binaries over het volledige spectrum van massaverhoudingen. Zij doen dit door quasi-lokale geometrie, zwaartekrachtsgolfinferentie, bronmodellering op eindige resolutie en stabiele hoog-orde discretisatie te combineren. De verenigende les is dat robuuste numerieke relativiteit niet alleen een kwestie is van het verhogen van de resolutie of de rekenkosten. Het is een kwestie van het discrete probleem zo te formuleren dat de essentiële fysica en wiskunde van het continuümprobleem zichtbaar blijven in de berekening.